Донецкий национальный университет
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
кафедра инженерной и компьютационной педагогики

Вопросы

В течение семестра, изучая дисциплину Теория вероятностей и математическая статистика, студент должен набрать 50 баллов за два комплексных коллоквиума. Билеты к коллоквиумам приведены ниже.

Комплексный коллоквиум №1 Случайные события и их вероятности

Билет №1

  1. Правило произведения в комбинаторике. Правило суммы в комбинаторике. Факториал. Число размещений. Число перестановок. Число сочетаний.
  2. В студенческой группе 12 юношей и 13 девушек. Во время выборов представителей студенческого самоуправления старостой группы избрана девушка. Какова вероятность того, что заместителем старосты будет избран юноша?
  3. Земля должна пройти через восходящий узел орбиты кометы с 17 марта до 12 апреля, большой метеорит ожидается в этой точке с 25 марта по 5 апреля. Точнее рассчитать время прохождения телами опасной точки не удалось. Время пребывания каждого тела в опасной зоне составляет 6 часов. Какова вероятность встречи названных небесных тел?
  4. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0.02. Для контроля отобрана партия, состоящая из 1000 таких деталей. Сделайте предсказание относительно того, каким может быть количество бракованных деталей в партии.

Билет №2

  1. Сумма событий и ее свойства. Произведение событий и его свойства. Разность событий, противоположные события, взаимные свойства достоверного и невозможного события, правила де Моргана.
  2. В партии из 1000 деталей семь деталей бракованные. Из партии извлекли одно изделие без возврата. Оно оказалось не бракованным. После этого из партии наугад извлекают еще одно изделие. Найдите вероятность того, что оно будет бракованным.
  3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% – государственные органы, 20% – другие банки, остальные – физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращен точно в срок, составляют 0.01, 0.05 и 0.2 соответственно. Известно, что некоторый взятый кредит не возвращен точно в срок. Какого типа клиент, вероятнее всего, не возвратил точно в срок кредит?
  4. Требуется оценить вероятность брака для деталей, изготовленных на некоторой конвейерной линии. Какое количество деталей следует отобрать для испытаний, чтобы гарантировать со степенью доверия 0.95, что частотная оценка вероятности брака отклонится от истинного значения вероятности брака не более, чем на 0.001?

Билет №3

  1. Совместные и несовместные события. Полная группа событий. Элементарные события. Пространство элементарных событий. Примеры элементарных и неэлементарных событий. Следование событий. Дистрибутивность операций над событиями.
  2. Слесарь-ремонтник обслуживает три станка. Пусть событие M1 состоит в том, что первый станок вышел из строя, М2 – второй станок вышел из строя, М3 – третий станок вышел из строя. Постройте выражения для событий, состоящих в том, что: а) вышел из строя только первый станок; б) первый и второй станки сломались, но третий работает; в) все три станка сломались; г) сломался хотя бы один станок; д) вышли из строя хотя бы два станка; е) все станки работают; ж) сломались не более двух станков; з) сломался ровно один станок; и) вышли из строя ровно два станка.
  3. Известно, что в среднем из 1000 выданных кредитов примерно 12 не возвращаются в срок. В текущем году банк выдал 3000 кредитов. Оцените количество кредитов, которые не будут возвращены в срок.
  4. Один процент стодолларовых купюр составляют фальшивые, сделанные, однако, настолько искусно, что операционист обменного пункта их принимает за настоящие. Каждый день для обмена приносят примерно 200 стодолларовых купюр. Определите вероятность того, что среди них есть ровно две фальшивых.

Билет №4

  1. Формула классического определения вероятности. Урновая схема, формула гипергеометрической вероятности.
  2. Петя и Маша договорились встретиться с 12 до 13 часов у памятника Ленину, однако никто из них не смог точно указать время своего прихода. Они договорились, что первый пришедший ждет не более 15 минут. Найдите вероятность того, что встреча произойдет.
  3. Вероятность того, что недельный оборот торговца мороженым превысит 2000 рублей, при солнечной погоде равна 80%, при переменной облачности – 50%, а при дождливой погоде – 10%. Вероятность солнечной погоды в данное время года составляет 20%, вероятность переменной облачности и вероятность дождливой погоды – по 40%. Известно, что недельный оборот превысил 2000 рублей. Какая, вероятнее всего, была на этой неделе погода?
  4. Требуется оценить долю потенциальных покупателей товара среди всех людей некоторого города. Какое количество людей этого города следует опросить, чтобы гарантировать на уровне доверия доверия 0.95, что частотная оценка доли потенциальных покупателей отклонится от истинного значения доли потенциальных покупателей не более, чем на 1%?

Билет №5

  1. Геометрическое определение вероятности. Задача о встрече.
  2. Речное судно может обойти дамбу через один из трех шлюзов. Пусть событие S1 состоит в том, что первый шлюз открыт, S2 – второй шлюз открыт, S3 – третий шлюз открыт. Постройте выражения для событий, состоящих в том, что: а) открыт только первый шлюз; б) первый и второй шлюзы открыты, но третий закрыт; в) все три шлюза закрыты; г) открыт хотя бы один шлюз; д) открыты хотя бы два шлюза; е) все три шлюза открыты; ж) открыты не более двух шлюзов; з) открыт ровно один шлюз; и) открыты ровно два шлюза.
  3. На собрании присутствовали шесть женщин и десять мужчин. Собрание закончилось. Из помещения, где проводилось собрание, вышли три женщины. Какова вероятность того, что следующим выйдет мужчина?
  4. Вероятность того, что проезжающий мимо автозаправочной станции автомобиль заедет для заправки, равна 0.3. В среднем в день мимо автозаправочной станции проезжает 1500 автомобилей. Сделайте предсказание относительно того, каким может быть количество автомобилей, обслуживаемых этой автозаправочной станцией в день.

Билет №6

  1. Частотное определение вероятности (формула Мизеса). Оценка объема большой совокупности с опорой на частотное определение вероятности.
  2. В аудитории находятся восемь девушек-студенток, шесть юношей-студентов и один преподаватель. Заместитель декана просит одного человека помочь ему. Сколько имеется способов определить помогающего?
  3. Леди Винтер и маркиз Рошфор договорились встретиться в харчевне Голубятня с 11 до 12 часов дня. Чтобы не встретиться с Д'Артаньяном и его друзьями-мушкетерами, они договорились, что первый пришедший ждет не более пяти минут. Какова вероятность встречи вышеназванных агентов кардинала Ришелье?
  4. Для нового рекламного видеоролика требуется оценить вероятность того, что посмотревший его человек ощутит желание приобрести рекламируемый товар. Какое количество людей следует привлечь к испытаниям, чтобы гарантировать на уровне доверия доверия 0.98, что частотная оценка вероятности результативного воздействия видеоролика отклонится от истинного значения вероятности результативного воздействия видеоролика не более, чем на 0.001?

Билет №7

  1. Условные вероятности. Зависимые и независимые события. Доказательство теоремы умножения вероятностей для независимых событий.
  2. В партии, состоящей из 1000 изделий, четыре изделия имеют дефекты. Для контроля отбираются случайным образом 100 изделий. Найти вероятность того, что среди отобранных изделий не окажется бракованных.
  3. На 200-километровом участке газопровода между компрессорными станциями A и B происходит утечка газа, которая одинаково возможна в любой точке газопровода. Найти вероятность того, что место утечки расположено не далее 20 километров от A или B.
  4. Вероятность заболеть гриппом во время очередной волны заболеваемости гриппом равна 0.005. В университете обучаются 8000 студентов. Сделайте предсказание относительно того, каким может быть количество студентов, заболевших гриппом во время очередной волны заболеваемости.

Билет №8

  1. Полная группа событий (гипотез). Априорные вероятности гипотез. Формула полной вероятности. Апостериорные вероятности гипотез (формулы) Байеса.
  2. Каждый сотрудник отдела банка должен иметь возможность доступа к имеющемуся в отделе сейфу. Чтобы контролировать, кто именно пользовался сейфом, каждому сотруднику присваивается индивидуальный цифровой код, состоящий из девяти цифр, каждая из которых входит в код ровно один раз. Сколько всего существует таких кодов?
  3. Обоз с награбленным французами добром проследует у изгиба реки с 8 до 10 часов утра. Проход этого места занимает у французов 20 минут. По приказу полковника Дениса Васильевича Давыдова казак Попов должен со своим отрядом напасть на обоз и задержать его до прихода летучего эскадрона гусар-партизан. Однако, у Попова и его казаков есть одна особенность: если им придется сидеть в засаде более 20 минут, то все они заснут и пропустят обоз. Какова вероятность успешного начала партизанской операции?
  4. Для нового изделия требуется оценить вероятность того, что оно прослужит без ремонта не менее двух лет. Какое количество пилотных потребителей следует привлечь к испытаниям, чтобы гарантировать на уровне доверия доверия 0.90, что частотная оценка вероятности исправной службы изделия в течение двух лет отклонится от истинного значения вероятности исправной службы изделия в течение двух лет не более, чем на 2%?

Билет №9

  1. Последовательность однотипных независимых испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли. Формула Пуассона и условия ее применимости. Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости.
  2. Маша тратит на дорогу в университет от 40 до 50 минут, причем любое время в этом промежутке является равновероятным. Найти вероятность того, что в день экзамена она потратит на дорогу от 45 до 50 минут.
  3. Найдите вероятность появления ровно пяти гербов при десятикратном бросании монеты.
  4. Вероятность того, что проезжающий мимо авторемонтной станции автомобиль заедет для обслуживания, равна 0.02. В среднем в день мимо авторемонтной станции проезжает 1000 автомобилей. Сделайте предсказание относительно того, каким может быть количество автомобилей, обслуживаемых этой авторемонтной станцией в день.

Билет №10

  1. Построение доверительного интервала для числа успехов в последовательности независимых однотипных испытаний. Оценка числа испытаний, необходимого для получения надежной частотной оценки веростности случайного события.
  2. В партии из 1000 деталей семь деталей бракованные. Из партии извлекли одно изделие без возврата. Оно оказалось не бракованным. После этого из партии наугад извлекают еще одно изделие. Найдите вероятность того, что оно будет бракованным.
  3. Два наивных друга, студенты-информатики первого курса, никак не могут понять, что информатика есть раздел математики, а не практика щелканья левой кнопкой мыши. Лекция по дискретной математике начинается в 8 часов и оканчивается в половине десятого. Друзья договорились увиделься на лекции: первый пришедший ждет полчаса и покидает аудиторию, если его визави не явился. Какова вероятность встречи этих двух кандидатов на отчисление?
  4. Вероятность заболеть гриппом во время очередной волны заболеваемости гриппом равна 0.003. В университете обучаются 4000 студентов. Сделайте предсказание относительно того, каким может быть количество студентов, заболевших гриппом во время очередной волны заболеваемости.

Задачи

На зачете (экзамене) по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика студент должен ответить на один теоретический вопрос и решить три практические задачи. Список, из которого выбираются практические задачи, приведен ниже

1. Элементы комбинаторики: правило произведения

0. Маша и Петя живут в одном общежитии. Маша поссорилась с Петей и не хочет ехать с ним в одном автобусе. От общежития до университета с 7 до 8 часов утра отправляется пять автобусов. Не успевший на последний из этих автобусов опаздывает на первую пару. Сколькими способами Маша и Петя могут доехать до университета в разных автобусах и не опоздать на первую пару?

1. В информационно-технологическом отделе банка работают три аналитика, десять программистов и двадцать инженеров. Для сверхурочной работы в праздничный день начальник должен сформировать команду из одного аналитика, одного программиста и одного инженера. Сколько способов существует у начальника?

2. Начальник службы безопасности банка имеет в своем подчинении десять охранников. Необходимо выбрать троих из них и расставить по трем постам. Сколько у начальника есть способов сделать это?

3. Владелец банка хочет назначить президента и вице-президента, выбрав их из числа десяти равноправных претендентов. Сколько способов существует у владельца?

4. Продавец настольных компьютеров сам комплектует их из системных блоков, мониторов и наборов аксессуаров. С ним сотрудничают восемь поставщиков различных системных блоков, три поставщика различных мониторов и пятнадцать поставщиков различных наборов аксессуаров. Сколько различных вариантов комплектации настольных компьютеров может продавец предлагать своим покумателям?

2. Элементы комбинаторики: правило суммы

0. В аудитории находятся восемь девушек-студентов, шесть юношей-студентов и один преподаватель. Заместитель декана просит одного человека помочь ему. Сколько имеется способов определить помогающего?

1. Начальник службы безопасности банка имеет в своем подчинении восемь охранников первого тарифного разряда и десять охранников второго тарифного разряда. Необходимо из них выбрать одного для прохождения курсов повышения квалификации. Сколько у начальника есть способов сделать это?

2. Президент банка хочет отправить на конференцию одного из пяти начальников отделов или же одного из восемнадцати заместителей начальников отделов. Сколько способов существует у президента?

3. С продавцом настольных компьютеров сотрудничают восемь поставщиков компьютеров американских марок, семь поставщиков компьютеров корейских марок и двенадцать поставщиков компьютеров китайских марок. Покупатель хочет приобрести один настольный компьютер. Сколько вариантов имеется у продавца для предложения покупателю?

4. В информационно-технологическом отделе банка работают три аналитика, десять программистов и двадцать инженеров. Для дежурства в праздничный день начальник отдела должен выделить одного сотрудника. Сколько способов существует у начальника отдела?

3. Элементы комбинаторики: число перестановок

0. Начальник службы безопасности банка должен ежедневно расставлять десять охранников по десяти постам. В целях усиления безопасности одна и та же комбинация расстановки охранников по постам не может повторяться чаще одного раза в месяц. Чтобы оценить, возможно ли это, найдите число различных комбинаций расстановки охранников.

1. В кредитном отделе банка работают восемь сотрудников. Их необходимо распределить по восьми магазинам, где они будут покупателям магазинов оказывать услуги быстрого заключения кредитных договоров с банком и выдачи банком кредитов на осуществление покупок. Сколькими способами это можно сделать?

2. Сколько различных (в том числе и бессмысленных) слов можно составить, переставляя буквы в слове "бойлер"? Исходное слово также включите в искомое Вами число.

3. Каждый сотрудник отдела банка должен иметь возможность доступа к имеющемуся в отделе сейфу. Чтобы контролировать, кто именно пользовался сейфом, каждому сотруднику присваивается индивидуальный цифровой код, состоящий из девяти цифр, каждая из которых входит в код ровно один раз. Сколько всего существует таких кодов?

4. Имеется десять городов. Из любого города имеется дорога, ведущая в любой другой из девяти остальных городов. Коммивояжер планирует посетить все десять городов, но каждый только по одному разу. Сколько коммерческих маршрутов существует в данном случае?

4. Элементы комбинаторики: число размещений

0. Нужно назначить президента и вице-президента компании из числа десяти человек, равно достойных как одной, так и другой должности. Сколько имеется способов сделать это?

1. Маша решила помириться с Петей и позвонить ему, но забыла три последние цифры номера его телефона и набирает их наудачу. Маша помнит лишь, что все эти три цифры различны. Сколько вариантов набора номера имеется у Маши?

2. В кредитном отделе банка работают восемь человек. Сколько существует способов распределить между ними три премии разных размеров, известных заранее?

3. Маша очень любит пирожные и ежедневно в булочной рядом с университетом покупает четыре пирожных (обязательно разных, по одному после каждой пары). Сколькими способами Маша может составить свой рацион пирожных на день? Учтите, что для Маши важно, пирожное какого сорта она съест после каждой пары (первой, второй и так далее). Всего в булочной продается 11 сортов пирожных.

4. В киноконкурсе по трем номинациям участвуют десять кинофильмов. Вычислите число вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные призы. По условиям конкурса кинофильм может получить не более одного приза.

5. Элементы комбинаторики: число сочетаний

0. Нужно отправить трех делегатов от компании на конференцию из числа пятнадцати достойных этого сотрудников. Сколько имеется способов сделать это?

1. Катя очень любит пирожные и ежедневно в булочной рядом с университетом покупает четыре пирожных (обязательно разных, по одному после каждой пары). Сколькими способами Катя может составить свой рацион пирожных на день? Считайте, что для Кати неважно, пирожное какого сорта она съест после каждой пары (первой, второй и так далее). Всего в булочной продается 12 сортов пирожных.

2. В кредитном отделе банка работают десять человек. Сколько существует способов распределить между ними три премии одинакового размера, известного заранее?

3. В киноконкурсе по четырем номинациям участвуют восемь кинофильмов. Вычислите число вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены одинаковые призы. По условиям конкурса кинофильм может получить не более одного приза.

4. Из двадцати студентов одной группы должны принять участие в субботнике пять человек. Сколькими способами можно составить трудовую бригаду?

6. Операции над событиями (исчисление событий, алгебра событий)

0. Три стрелка делают залп по одной мишени. Пусть событие A1 состоит в том, что первый стрелок попал, А2 – второй стрелок попал, А3 – третий стрелок попал. Постройте выражения для событий, состоящих в том, что: а) попал только первый стрелок; б) попали первый и второй, но третий не попал; в) все три стрелка попали; г) попал хотя бы один стрелок; д) попали хотя бы два стрелка; е) ни один из стрелков не попал; ж) попали не более двух стрелков; з) попал ровно один стрелок; и) попали ровно два стрелка.

1. Слесарь-ремонтник обслуживает три станка. Пусть событие M1 состоит в том, что первый станок вышел из строя, М2 – второй станок вышел из строя, М3 – третий станок вышел из строя. Постройте выражения для событий, состоящих в том, что: а) вышел из строя только первый станок; б) первый и второй станки сломались, но третий работает; в) все три станка сломались; г) сломался хотя бы один станок; д) вышли из строя хотя бы два станка; е) все станки работают; ж) сломались не более двух станков; з) сломался ровно один станок; и) вышли из строя ровно два станка.

2. В заключении сделки с предпринимателем участвуют три партнера. Пусть событие К1 состоит в том, что первый партнер явился на сделку, К2 – второй партнер явился на сделку, К3 – третий партнер явился на сделку. Постройте выражения для событий, состоящих в том, что: а) явился на сделку только первый партнер; б) первый и второй партнеры явились, но третий не явился; в) все три партнера не явились; г) явился хотя бы один партнер; д) явились хотя бы два партнера; е) все три партнера явились; ж) явились не более двух партнеров; з) явился ровно один партнер; и) явились ровно два партнера.

3. Речное судно может обойти дамбу через один из трех шлюзов. Пусть событие S1 состоит в том, что первый шлюз открыт, S2 – второй шлюз открыт, S3 – третий шлюз открыт. Постройте выражения для событий, состоящих в том, что: а) открыт только первый шлюз; б) первый и второй шлюзы открыты, но третий закрыт; в) все три шлюза закрыты; г) открыт хотя бы один шлюз; д) открыты хотя бы два шлюза; е) все три шлюза открыты; ж) открыты не более двух шлюзов; з) открыт ровно один шлюз; и) открыты ровно два шлюза.

4. Три студента сдают теоретический коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Пусть событие Н1 состоит в том, что первый студент сдал, Н2 – второй студент сдал, Н3 – третий студент сдал. Постройте выражения для событий, состоящих в том, что: а) сдал только первый студент; б) первый и второй студенты сдали, но третий не сдал; в) все три студента сдали; г) сдал хотя бы один студент; д) сдали хотя бы два студента; е) все три студента сдали; ж) сдали не более двух студентов; з) сдал ровно один студент; и) сдали ровно два студента.

7. Алгебра событий: преобразование выражений

0. Путем алгебраических преобразований проверьте справедливость следующего выражения: (А + В) \ С = А + (В \ С).

1. Путем алгебраических преобразований проверьте справедливость следующего выражения: А ⋅ B ⋅ C = A ⋅ B ⋅ (C + B).

2. Путем алгебраических преобразований проверьте справедливость следующего выражения: (А + B) \ A = B.

3. Путем алгебраических преобразований проверьте справедливость следующего выражения: A + B = (A \ (A ⋅ B) + B).

4. Путем алгебраических преобразований проверьте справедливость следующего выражения: C \ (A + B) + C = C.

8. Классическое определение вероятности

0. В корзине три красных и семь зелёных яблок. Из корзины наугад вынимают одно яблоко. Найти вероятность того, что оно будет красным.

1. В корзине три красных и семь зелёных яблок. Из корзины вынули одно яблоко и отложили в сторону. Это яблоко оказалось зелёным. После этого из корзины наугад берут еще одно яблоко. Найти вероятность того, что оно будет красным.

2. В партии из 1000 деталей семь деталей бракованные. Из партии извлекли одно изделие без возврата. Оно оказалось не бракованным. После этого из партии наугад извлекают еще одно изделие. Найдите вероятность того, что оно будет бракованным.

3. На собрании присутствовали шесть женщин и десять мужчин. Собрание закончилось. Из помещения, где проводилось собрание, вышли три женщины. Какова вероятность того, что следующим выйдет мужчина?

4. В студенческой группе 12 юношей и 13 девушек. Во время выборов представителей студенческого самоуправления старостой группы избрана девушка. Какова вероятность того, что заместителем старосты будет избран юноша?

9. Урновая схема и формула гипергеометрической вероятности

0. В партии, состоящей из 1000 изделий, четыре изделия имеют дефекты. Для контроля отбираются случайным образом 100 изделий. Найти вероятность того, что среди отобранных изделий не окажется бракованных.

1. В игре Спортлото играющий отмечал на карточке пять чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства, если он угадал одно, два, три, четыре или пять чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность угадать одно число из 36-ти.

2. В игре Спортлото играющий отмечал на карточке пять чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства, если он угадал одно, два, три, четыре или пять чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность угадать два числа из 36-ти.

3. В игре Спортлото играющий отмечал на карточке пять чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства, если он угадал одно, два, три, четыре или пять чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность угадать три числа из 36-ти.

4. В игре Спортлото играющий отмечал на карточке пять чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства, если он угадал одно, два, три, четыре или пять чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность угадать четыре числа из 36-ти.

10. Вычисление вероятностей по классическому определению с использованием комбинаторных соображений

0. В здании семь этажей. На первом этаже в лифт вошли шесть человек. Какова вероятность того, что все они выйдут на одном этаже?

1. В здании семь этажей. На первом этаже в лифт вошли шесть человек. Какова вероятность того, что все они выйдут на разных этажах?

2. Петя и Маша приглашены на день рождения в компанию из десяти человек, включая их, но приходят порознь, причём, как и остальные гости, в случайное время. Найти вероятность того, что они будут сидеть за праздничным столом рядом, если хозяин рассаживает гостей случайным образом, а стол, имеющий прямоугольную форму, стоит в середине комнаты.

3. Петя и Маша приглашены на день рождения в компанию из десяти человек, включая их, но приходят порознь, причём, как и остальные гости, в случайное время. Найти вероятность того, что они будут сидеть за праздничным столом рядом, если хозяин рассаживает гостей случайным образом, а стол, имеющий прямоугольную форму, придвинут к стене.

4. Человек забыл последние две цифры номера телефона абонента и набирает их наугад, помня лишь то, что они разные. Какова вероятность того, что он с первого раза наберет номер правильно?

11. Геометрическое определение вероятности

0. Во время грозы на участке между 40-километровой и 70-километровой отметками телефонной линии произошёл обрыв провода. Считая, что обрыв одинаково возможен в любой точке, найдите вероятность того, что обрыв расположен между 40-километровой и 45-километровой отметками.

1. На 200-километровом участке газопровода между компрессорными станциями A и B происходит утечка газа, которая одинаково возможна в любой точке газопровода. Найти вероятность того, что место утечки расположено не далее 20 километров от A или B.

2. На 200-километровом участке газопровода между компрессорными станциями A и B происходит утечка газа, которая одинаково возможна в любой точке газопровода. Найти вероятность того, что место утечки расположено дальше 40 километров как от A, так и от B.

3. Емкость цистерны для хранения бензина на автозаправочной станции равна 50 тонн. Найти вероятность того, что при случайной проверке в цистерне будет обнаружена хотя бы 1 тонна бензина.

4. Маша тратит на дорогу в институт от 40 до 50 минут, причём любое время в этом промежутке является равновероятным. Найти вероятность того, что в день экзамена она потратит на дорогу от 45 до 50 минут.

12. Геометрическое определение вероятности: задача о встрече

0. Петя и Маша договорились встретиться с 12 до 13 часов у памятника Ленину, однако никто из них не смог точно указать время своего прихода. Они договорились, что первый пришедший ждет не более 15 минут. Найдите вероятность того, что встреча произойдет.

1. Земля должна пройти через восходящий узел орбиты кометы с 17 марта до 12 апреля, большой метеорит ожидается в этой точке с 25 марта по 5 апреля. Точнее рассчитать время прохождения телами опасной точки не удалось. Время пребывания каждого тела в опасной зоне составляет 6 часов. Какова вероятность падения метеорита на Землю?

2. Леди Винтер и маркиз Рошфор договорились встретиться в харчевне у Буонасье с 11 до 12 часов дня. Чтобы не встретиться с Д'Артаньяном и его друзьями, они договорились, что первый пришедший ждет не более пяти минут. Какова вероятность встречи вышеназванных агентов кардинала Ришелье?

3. Обоз с награбленным французами добром проследует у изгиба реки с 8 до 10 часов утра. Проход этого места занимает у французов 20 минут. По приказу полковника Дениса Васильевича Давыдова казак Попов должен со своим отрядом напасть на обоз и задержать его до прихода летучего эскадрона гусар-партизан. Однако, у Попова и его казаков есть одна особенность: если им придется сидеть в засаде более 20 минут, то все они заснут и пропустят обоз. Какова вероятность успешного начала партизанской операции?

4. Два наивных друга, студенты-информатики первого курса, никак не могут понять, что информатика есть раздел математики, а не практика щелканья левой кнопкой мыши. Лекция по дискретной математике начинается в 8 часов и оканчивается в половине десятого. Друзья договорились увиделься на лекции: первый пришедший ждет полчаса и покидает аудиторию, если его визави не явился. Какова вероятность встречи этих двух кандидатов на отчисление?

13. Частотное (статистическое) определение вероятности

0. Исследователя поймали в пруду 100 рыб, пометили их и выпустили назад в воду. На следующий день они поймали 120 рыб, из которых 10 оказались помеченными. Оцените количество рыб в пруду.

1. Известно, что в среднем из 1000 выданных кредитов примерно 12 не возвращаются в срок. В текущем году банк выдал 3000 кредитов. Оцените количество кредитов, которые не будут возвращены в срок.

2. Исследователи вручили 230 случайно встреченным жителям городка, согласившимся принять участие в исследовании, ручки-маячки. Участники исследования обещали весь следующий день носить эти ручки с собой. На следующий день исследователи встретили 100 случайным образом попавшихся прохожих, из которых у двух были с собой ручки-маячки. Оцените общее количество жителей городка.

3. Известно, что в среднем из 2000 выданных кредитов примерно 24 не возвращаются в срок. К концу некоторого года 18 кредитов, выданных банком, не были возвращены в срок. Оцените общее количество кредитов, выданных банком в этом году.

4. Известно, что в продукции некоторого предприятия на 1000 микросхем в среднем приходится три негодных. Из партии микросхем, произведенных на этом предприятии, случайным образом извлечены 200 микросхем, из которых одна оказалась негодной. Оцените объем всей партии.

14. Условные вероятности. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса

1. Магазин получает товар от трёх поставщиков: 55% товара поступает от первого поставщика, 20% от второго и 25% от третьего. Продукция, поступающая от первого поставщика, содержит 5% брака, поступающая от второго поставщика – 6% брака, а поступающая от третьего поставщика – 8% брака. Покупатель оставил в книге пожеланий покупателя жалобу о низком качестве приобретённого товара. Найдите вероятность того, что плохой товар, вызвавший нарекания покупателя, поступил от второго поставщика.

2. Вероятность того, что недельный оборот торговца мороженым превысит 2000 рублей, при солнечной погоде равна 80%, при переменной облачности – 50%, а при дождливой погоде – 10%. Вероятность солнечной погоды в данное время года составляет 20%, вероятность переменной облачности и вероятность дождливой погоды – по 40%. Известно, что недельный оборот превысил 2000 рублей. Какая, вероятнее всего, была на этой неделе погода?

3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% – государственные органы, 20% – другие банки, остальные – физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращен, составляют 0.01, 0.05 и 0.2 соответственно. Известно, что некоторый взятый кредит не возвращен. Какого типа клиент, вероятнее всего, не возвратил кредит?

4. Поток автомобилей, проезжающих мимо автозаправочной станции (АЗС), состоит на 60% из грузовых и на 40% из легковых автомобилей. Вероятность того, что автомобиль заедет на заправку, для грузового автомобиля равна 0.1, для легкового автомобиля – 0.3. В некоторый момент на АЗС находится автомобиль. Какой он, вероятнее всего: грузовой или легковой?

15. Последовательности независимых однотипных испытаний. Формула Бернулли

1. Игральную кость бросают пять раз. Найти вероятность того, что дважды появится число, кратное трем.

2. Банк имеет пять отделений. Ежедневно с вероятностью 0.3 каждое отделение независимо от других может заказать на следующий день крупную сумму денег. В конце рабочего дня один из вице-президентов банка знакомится с поступившими заявками. Найдите вероятность того, что поступили ровно две заявки.

3. Среди 12 проверяемых ревизором договоров семь оформлены неправильно. Найдите вероятность того, что среди пяти договоров, произвольно отобранных ревизором для проверки, окажутся неправильно оформленными ровно три договора.

4. Найдите вероятность появления ровно пяти гербов при десятикратном бросании монеты.

16. Последовательности независимых однотипных испытаний. Формула Пуассона

1. Владельцы кредитных карт ценят их и теряют весьма редко. Вероятность потерять кредитную карту в течение недели для случайно выбранного вкладчика составляет 0.001. Банк выдал кредитные карты 2000 клиентам. Найдите вероятность того, что за следующую неделю будет утеряно ровно три кредитные карты.

2. Один процент стодолларовых купюр составляют фальшивые, сделанные, однако, настолько искусно, что операционист обменного пункта их принимает за настоящие. Каждый день для обмена приносят примерно 200 стодолларовых купюр. Определите вероятность того, что среди них есть ровно две фальшивых.

3. На праздники Петя и Маша отправились в поход на байдарках. Известно, что при прохождении одного порога байдарка получает серьезное повреждение с вероятностью 0.2. Два серьезных повреждения приводят к полной поломке. Найти вероятность того, что при прохождении 10 порогов байдарка будет полностью сломана.

4. На лекции по теории вероятностей присутствует 200 человек. Вероятность того, что день рождения случайно выбранного студента приходится на определенный день года, составляет 1/365. Найдите вероятность того, что два человека из присутствующих родились 8 марта.

17. Последовательности независимых однотипных испытаний. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

1. Применение новой методики стимулирования труда в 4 случаях из 10 приводит к увеличению производительности труда. На предприятии работают 1000 работников. Найдите вероятность того, что число тех, кто увеличит производительность труда после применения новой методики будет не меньше 600.

2. Строительная фирма для привлечения инвестиций в строительство нового дома собирается воспользоваться банковским кредитом. Вероятность того, что какой-либо банк в ответ на поступление бизнес-плана примет положительное решение о кредитовании фирмы, равна 0.3. Строительная фирма обратилась в 100 банков. Найти вероятность того, что решения о предоставлении кредитов этой фирме примут от 15 до 30 банков.

3. Вероятность появления успеха в каждом из независимых испытаний равна 0.25. Найти вероятность того, что в серии из 300 испытаний успех наступит от 70 до 100 раз.

4. Вероятность смерти тридцатилетнего мужчины составляет 0.006. Страховая компания заключила 10000 страховых контрактов с мужчинами в возрасте тридцати лет. Найдите вероятность того, что число умерших тридцатилетних мужчин будет от 50 до 70.