Загорный Максим Петрович
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
ресурс для педагогов-экономистов

Вопросы

На зачете (экзамене) по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика студент должен ответить на один теоретический вопрос и решить три практические задачи. Список, из которого выбираются теоретические вопросы, приведен ниже

1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

1.1. Правило произведения в комбинаторике.

1.2. Правило суммы в комбинаторике.

1.3. Факториал.

1.4. Число размещений.

1.5. Число перестановок.

1.6. Число сочетаний.

2. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ (ИСЧИСЛЕНИЕ СОБЫТИЙ, АЛГЕБРА СОБЫТИЙ)

2.1. Сумма событий и ее свойства.

2.2. Произведение событий и его свойства.

2.3. Разность событий, противоположные события, взаимные свойства достоверного и невозможного события, правила де Моргана.

2.4. Совместные и несовместные события. Полная группа событий

2.5. Элементарные события. Пространство элементарных событий. Примеры неэлементарных событий

2.6. Следование событий. Дистрибутивность операций над событиями.

Задачи

На зачете (экзамене) по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика студент должен ответить на один теоретический вопрос и решить три практические задачи. Список, из которого выбираются практические задачи, приведен ниже

1. Элементы комбинаторики: правило произведения

0. Маша и Петя живут в одном общежитии. Маша поссорилась с Петей и не хочет ехать с ним в одном автобусе. От общежития до университета с 7 до 8 часов утра отправляется пять автобусов. Не успевший на последний из этих автобусов опаздывает на первую пару. Сколькими способами Маша и Петя могут доехать до университета в разных автобусах и не опоздать на первую пару?

1. В информационно-технологическом отделе банка работают три аналитика, десять программистов и двадцать инженеров. Для сверхурочной работы в праздничный день начальник должен сформировать команду из одного аналитика, одного программиста и одного инженера. Сколько способов существует у начальника?

2. Начальник службы безопасности банка имеет в своем подчинении десять охранников. Необходимо выбрать троих из них и расставить по трем постам. Сколько у начальника есть способов сделать это?

3. Владелец банка хочет назначить президента и вице-президента, выбрав их из числа десяти равноправных претендентов. Сколько способов существует у владельца?

4. Продавец настольных компьютеров сам комплектует их из системных блоков, мониторов и наборов аксессуаров. С ним сотрудничают восемь поставщиков различных системных блоков, три поставщика различных мониторов и пятнадцать поставщиков различных наборов аксессуаров. Сколько различных вариантов комплектации настольных компьютеров может продавец предлагать своим покумателям?

2. Элементы комбинаторики: правило суммы

0. В аудитории находятся восемь девушек-студентов, шесть юношей-студентов и один преподаватель. Заместитель декана просит одного человека помочь ему. Сколько имеется способов определить помогающего?

1. Начальник службы безопасности банка имеет в своем подчинении восемь охранников первого тарифного разряда и десять охранников второго тарифного разряда. Необходимо из них выбрать одного для прохождения курсов повышения квалификации. Сколько у начальника есть способов сделать это?

2. Президент банка хочет отправить на конференцию одного из пяти начальников отделов или же одного из восемнадцати заместителей начальников отделов. Сколько способов существует у президента?

3. С продавцом настольных компьютеров сотрудничают восемь поставщиков компьютеров американских марок, семь поставщиков компьютеров корейских марок и двенадцать поставщиков компьютеров китайских марок. Покупатель хочет приобрести один настольный компьютер. Сколько вариантов имеется у продавца для предложения покупателю?

4. В информационно-технологическом отделе банка работают три аналитика, десять программистов и двадцать инженеров. Для дежурства в праздничный день начальник отдела должен выделить одного сотрудника. Сколько способов существует у начальника отдела?

3. Элементы комбинаторики: число перестановок

0. Начальник службы безопасности банка должен ежедневно расставлять десять охранников по десяти постам. В целях усиления безопасности одна и та же комбинация расстановки охранников по постам не может повторяться чаще одного раза в месяц. Чтобы оценить, возможно ли это, найдите число различных комбинаций расстановки охранников.

1. В кредитном отделе банка работают восемь сотрудников. Их необходимо распределить по восьми магазинам, где они будут покупателям магазинов оказывать услуги быстрого заключения кредитных договоров с банком и выдачи банком кредитов на осуществление покупок. Сколькими способами это можно сделать?

2. Сколько различных (в том числе и бессмысленных) слов можно составить, переставляя буквы в слове "бойлер"? Исходное слово также включите в искомое Вами число.

3. Каждый сотрудник отдела банка должен иметь возможность доступа к имеющемуся в отделе сейфу. Чтобы контролировать, кто именно пользовался сейфом, каждому сотруднику присваивается индивидуальный цифровой код, состоящий из девяти цифр, каждая из которых входит в код ровно один раз. Сколько всего существует таких кодов?

4. Имеется десять городов. Из любого города имеется дорога, ведущая в любой другой из девяти остальных городов. Коммивояжер планирует посетить все десять городов, но каждый только по одному разу. Сколько коммерческих маршрутов существует в данном случае?

4. Элементы комбинаторики: число размещений

0. Нужно назначить президента и вице-президента компании из числа десяти человек, равно достойных как одной, так и другой должности. Сколько имеется способов сделать это?

1. Маша решила помириться с Петей и позвонить ему, но забыла три последние цифры номера его телефона и набирает их наудачу. Маша помнит лишь, что все эти три цифры различны. Сколько вариантов набора номера имеется у Маши?

2. В кредитном отделе банка работают восемь человек. Сколько существует способов распределить между ними три премии разных размеров, известных заранее?

3. Маша очень любит пирожные и ежедневно в булочной рядом с университетом покупает четыре пирожных (обязательно разных, по одному после каждой пары). Сколькими способами Маша может составить свой рацион пирожных на день? Учтите, что для Маши важно, пирожное какого сорта она съест после каждой пары (первой, второй и так далее). Всего в булочной продается 11 сортов пирожных.

4. В киноконкурсе по трем номинациям участвуют десять кинофильмов. Вычислите число вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные призы. По условиям конкурса кинофильм может получить не более одного приза.

5. Элементы комбинаторики: число сочетаний

0. Нужно отправить трех делегатов от компании на конференцию из числа пятнадцати достойных этого сотрудников. Сколько имеется способов сделать это?

1. Катя очень любит пирожные и ежедневно в булочной рядом с университетом покупает четыре пирожных (обязательно разных, по одному после каждой пары). Сколькими способами Катя может составить свой рацион пирожных на день? Считайте, что для Кати неважно, пирожное какого сорта она съест после каждой пары (первой, второй и так далее). Всего в булочной продается 12 сортов пирожных.

2. В кредитном отделе банка работают десять человек. Сколько существует способов распределить между ними три премии одинакового размера, известного заранее?

3. В киноконкурсе по четырем номинациям участвуют восемь кинофильмов. Вычислите число вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены одинаковые призы. По условиям конкурса кинофильм может получить не более одного приза.

4. Из двадцати студентов одной группы должны принять участие в субботнике пять человек. Сколькими способами можно составить трудовую бригаду?

6. Операции над событиями (исчисление событий, алгебра событий)

0. Три стрелка делают залп по одной мишени. Пусть событие A1 состоит в том, что первый стрелок попал, А2 – второй стрелок попал, А3 – третий стрелок попал. Постройте выражения для событий, состоящих в том, что: а) попал только первый стрелок; б) попали первый и второй, но третий не попал; в) все три стрелка попали; г) попал хотя бы один стрелок; д) попали хотя бы два стрелка; е) ни один из стрелков не попал; ж) попали не более двух стрелков; з) попал ровно один стрелок; и) попали ровно два стрелка.

1. Слесарь-ремонтник обслуживает три станка. Пусть событие M1 состоит в том, что первый станок вышел из строя, М2 – второй станок вышел из строя, М3 – третий станок вышел из строя. Постройте выражения для событий, состоящих в том, что: а) вышел из строя только первый станок; б) первый и второй станки сломались, но третий работает; в) все три станка сломались; г) сломался хотя бы один станок; д) вышли из строя хотя бы два станка; е) все станки работают; ж) сломались не более двух станков; з) сломался ровно один станок; и) вышли из строя ровно два станка.

2. В заключении сделки с предпринимателем участвуют три партнера. Пусть событие К1 состоит в том, что первый партнер явился на сделку, К2 – второй партнер явился на сделку, К3 – третий партнер явился на сделку. Постройте выражения для событий, состоящих в том, что: а) явился на сделку только первый партнер; б) первый и второй партнеры явились, но третий не явился; в) все три партнера не явились; г) явился хотя бы один партнер; д) явились хотя бы два партнера; е) все три партнера явились; ж) явились не более двух партнеров; з) явился ровно один партнер; и) явились ровно два партнера.

3. Речное судно может обойти дамбу через один из трех шлюзов. Пусть событие S1 состоит в том, что первый шлюз открыт, S2 – второй шлюз открыт, S3 – третий шлюз открыт. Постройте выражения для событий, состоящих в том, что: а) открыт только первый шлюз; б) первый и второй шлюзы открыты, но третий закрыт; в) все три шлюза закрыты; г) открыт хотя бы один шлюз; д) открыты хотя бы два шлюза; е) все три шлюза открыты; ж) открыты не более двух шлюзов; з) открыт ровно один шлюз; и) открыты ровно два шлюза.

4. Три студента сдают теоретический коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Пусть событие Н1 состоит в том, что первый студент сдал, Н2 – второй студент сдал, Н3 – третий студент сдал. Постройте выражения для событий, состоящих в том, что: а) сдал только первый студент; б) первый и второй студенты сдали, но третий не сдал; в) все три студента сдали; г) сдал хотя бы один студент; д) сдали хотя бы два студента; е) все три студента сдали; ж) сдали не более двух студентов; з) сдал ровно один студент; и) сдали ровно два студента.

7. Алгебра событий: преобразование выражений

0. Путем алгебраических преобразований проверьте справедливость следующего выражения: (А + В) \ С = А + (В \ С).

1. Путем алгебраических преобразований проверьте справедливость следующего выражения: А ⋅ B ⋅ C = A ⋅ B ⋅ (C + B).

2. Путем алгебраических преобразований проверьте справедливость следующего выражения: (А + B) \ A = B.

3. Путем алгебраических преобразований проверьте справедливость следующего выражения: A + B = (A \ (A ⋅ B) + B).

4. Путем алгебраических преобразований проверьте справедливость следующего выражения: C \ (A + B) + C = C.