Раздел Математический анализ

Вопросы

На экзамене по дисциплине Высшая математика студент должен ответить на один теоретический вопрос и решить три практические задачи. Теоретический вопрос может оказаться относящимся к разделу Математический анализ. Список, из которого выбираются теоретические вопросы по высшей алгебре, приведен ниже.

  1. Числовая последовательность. Примеры числовых последовательностей.
  2. Бесконечно малая числовая последовательность. Свойства бесконечно малых числовых последовательностей.
  3. Бесконечно большая числовая последовательность. Свойства бесконечно больших числовых последовательностей.
  4. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми числовыми последовательностями.
  5. Предел последовательности. Свойства пределов последовательностей.

Раздел Математический анализ

Задачи

На экзамене по дисциплине Высшая математика студент должен ответить на один теоретический вопрос и решить три практические задачи. Одна из практических задач относится к разделу Математический анализ. Список, из которого выбираются практические задачи по высшей алгебре, приведен ниже.

Тема Числовые последовательности

Умение 1 Бесконечно малая числовая последовательность

Список студентов, отчитавшихся в усвоении этого умения: Горяинова Татьяна Алексеевна, Кашин Дмитрий, Мальцева Карина.

1. Числовая последовательность {an} задана формулой: an = 36 / n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

2. Числовая последовательность {bn} задана формулой: bn = 27 / n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

3. Числовая последовательность {cn} задана формулой: cn = 16 / n4. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

4. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = 32 / n5. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

5. Числовая последовательность {an} задана формулой: an = -4 / n. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

6. Числовая последовательность {bn} задана формулой: bn = -25 / n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

7. Числовая последовательность {cn} задана формулой: cn = -16 / n4. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

8. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = -8 / n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

9. Числовая последовательность {an} задана формулой: an = 49 / n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

10. Числовая последовательность {bn} задана формулой: bn = -64 / n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

11. Числовая последовательность {cn} задана формулой: cn = 121 / n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

12. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = -81 / n4. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

13. Числовая последовательность {an} задана формулой: an = -7 / n. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

14. Числовая последовательность {bn} задана формулой: bn = 625 / n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

15. Числовая последовательность {cn} задана формулой: cn = -36 / n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

16. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = -125 / n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

17. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = 8 / n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

18. Числовая последовательность {an} задана формулой: an = -49 / n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

19. Числовая последовательность {bn} задана формулой: bn = 64 / n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

20. Числовая последовательность {cn} задана формулой: cn = -121 / n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

21. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = 81 / n4. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

22. Числовая последовательность {an} задана формулой: an = 13 / n. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

23. Числовая последовательность {bn} задана формулой: bn = 169 / n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

24. Числовая последовательность {cn} задана формулой: cn = -196 / n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

25. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = -64 / n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно малой.

Умение 2 Бесконечно большая числовая последовательность

Список студентов, отчитавшихся в усвоении этого умения: Горяинова Татьяна Алексеевна, Кашин Дмитрий.

1. Числовая последовательность {an} задана формулой: an = 16n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

2. Числовая последовательность {bn} задана формулой: bn = 8n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

3. Числовая последовательность {cn} задана формулой: cn = 256n4. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

4. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = 32n5. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

5. Числовая последовательность {an} задана формулой: an = -4n. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

6. Числовая последовательность {bn} задана формулой: bn = -25n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

7. Числовая последовательность {cn} задана формулой: cn = -16n4. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

8. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = -8n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

9. Числовая последовательность {an} задана формулой: an = 49n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

10. Числовая последовательность {bn} задана формулой: bn = -64n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

11. Числовая последовательность {cn} задана формулой: cn = 121n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

12. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = -81n4. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

13. Числовая последовательность {an} задана формулой: an = -7n. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

14. Числовая последовательность {bn} задана формулой: bn = 625n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

15. Числовая последовательность {cn} задана формулой: cn = -36n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

16. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = -125n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

17. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = 8n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

18. Числовая последовательность {an} задана формулой: an = -49n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

19. Числовая последовательность {bn} задана формулой: bn = 64n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

20. Числовая последовательность {cn} задана формулой: cn = -121n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

21. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = 81n4. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

22. Числовая последовательность {an} задана формулой: an = 13n. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

23. Числовая последовательность {bn} задана формулой: bn = 169n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

24. Числовая последовательность {cn} задана формулой: cn = -196n2. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

25. Числовая последовательность {dn} задана формулой: dn = -64n3. Докажите, что эта последовательность является бесконечно большой.

Тема Предел функции

Умение 1 Первый замечательный предел

1. Найдите предел функции:

2. Найдите предел функции:

3. Найдите предел функции:

4. Найдите предел функции:

5. Найдите предел функции:

6. Найдите предел функции:

7. Найдите предел функции:

8. Найдите предел функции:

9. Найдите предел функции:

10. Найдите предел функции:

Тема Производная функции

Умение 1 Применение таблицы производных и правил дифференцирования

1. Найдите производную функции:

2. Найдите производную функции:

3. Найдите производную функции:

4. Найдите производную функции:

5. Найдите производную функции:

6. Найдите производную функции:

7. Найдите производную функции:

8. Найдите производную функции:

9. Найдите производную функции:

10. Найдите производную функции:

Умение 2 Нахождение стационарных точек и локальных экстремумов (локальных минимумов и максимумов) функции

1. Найдите стационарные точки и (если они существуют) локальные экстремумы (локальные максимумы и минимумы) функции y(x) = 3x2-12x+3.

Тема Неопределенный интеграл

Умение 1 Интегрирование с помощью замены переменной

1. Найдите интеграл:

2. Найдите интеграл:

3. Найдите интеграл:

4. Найдите интеграл:

5. Найдите интеграл:

6. Найдите интеграл:

7. Найдите интеграл:

8. Найдите интеграл:

9. Найдите интеграл:

10. Найдите интеграл:

Умение 2 Интегрирование по частям

1. Найдите интеграл:

2. Найдите интеграл:

3. Найдите интеграл:

4. Найдите интеграл:

5. Найдите интеграл:

6. Найдите интеграл:

7. Найдите интеграл:

8. Найдите интеграл:

9. Найдите интеграл:

10. Найдите интеграл:

Тема Определенный интеграл

Умение 1 Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница

1. Вычислите определенный интеграл:

2. Вычислите определенный интеграл:

3. Вычислите определенный интеграл:

4. Вычислите определенный интеграл:

5. Вычислите определенный интеграл:

6. Вычислите определенный интеграл:

7. Вычислите определенный интеграл:

8. Вычислите определенный интеграл:

9. Вычислите определенный интеграл:

10. Вычислите определенный интеграл:

Умение 2 Площадь криволинейной трапеции

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2, y = 0, x = 1, x = 4.

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = ex, y = 0, x = 0, x = ln 4.

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = 0, x = 0, x = π/2.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = cos x, y = 0, x = 0, x = π/2.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = e-x, y = 0, x = 0, x = ln 8.

6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x3, y = 0, x = 1, x = 3.

7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = e-x, y = 0, x = 0, x = ln 16.

8. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = 0, x = -π/2, x = 0.

9. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = cos x, y = 0, x = -π/2, x = 0.

10. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x ln 2, y = 0, x = 0, x = 3.